Question

甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行登山比賽，圖中表示甲同學(xué)和乙同學(xué)沿相同的路線同時(shí)從山腳出發(fā)到達(dá)山頂過(guò)程中，各自行進(jìn)的路程隨時(shí)間變化的圖象，根據(jù)圖象中的有關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題：
（1）分別求出表示甲、乙兩同學(xué)登山過(guò)程中路程s（千米）與時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)解析式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）
（2）當(dāng)甲到達(dá)山頂時(shí)，乙行進(jìn)到山路上的某點(diǎn)A處，求A點(diǎn)距山頂?shù)木嚯x；
（3）在（2）的條件下，設(shè)乙同學(xué)從A處繼續(xù)登山，甲同學(xué)到達(dá)山頂后休息1小時(shí)，沿原路下山，在點(diǎn)B處與乙相遇，此時(shí)點(diǎn)B與山頂距離為1.5千米，相遇后甲、乙各自按原來(lái)的路線下山和上山，求乙到達(dá)山頂時(shí)，甲離山腳的距離是多少千米？

Answer 1

分析：（1）由圖可知，甲、乙兩同學(xué)登山過(guò)程中路程s與時(shí)間t都成正比例函數(shù)，分別設(shè)為S_甲=k₁t，S_乙=k₂t，用待定系數(shù)法可求解．
（2）由圖可知，甲到達(dá)山頂時(shí)路程為12千米，即山腳到山頂?shù)木嚯x為12千米，代入S_甲可求得所花的時(shí)間，再把時(shí)間代入S_乙即可求得A點(diǎn)離山腳的距離，則A點(diǎn)與山頂?shù)木嚯x可求．
（3）由圖象知：甲到達(dá)山頂并休息1小時(shí)后點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，12），點(diǎn)B的坐標(biāo)也可求，則線段DF所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式可求，而乙到達(dá)山頂?shù)臅r(shí)間可求，則題目可求解．

解答：解：（1）設(shè)甲、乙兩同學(xué)登山過(guò)程中，路程s（千米）與時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)解析式分別為S_甲=k₁t，S_乙=k₂t
由題意，得6=2k₁， 6=3k₂
∴k₁=3，k₂=2（1分）
∴解析式分別為S_甲=3t，S_乙=2t（1分）

（2）甲到達(dá)山頂時(shí)，由圖象可知，當(dāng)S_甲=12千米，代入S_甲=3t得t=4（小時(shí)）
∴S_乙=2×4=8（千米）
∴12-8=4（千米）（1分）
答：當(dāng)甲到達(dá)山頂時(shí)，乙距山頂?shù)木嚯x為4千米．（1分）

（3）由圖象知：甲到達(dá)山頂并休息1小時(shí)后點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，12）
由題意，得：點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為12-

3

2

=

21

2

，代入S_乙=2t，
解得：t=

21

4

，
∴點(diǎn)B（

21

4

，

21

2

）
設(shè)過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線解析式為S=kt+b，
由題意，得：

21 2 = 21 4 k+b 12=5k+b

，解得

k=-6 b=42

∴直線BD的解析式為S=-6t+42（1分）
當(dāng)乙到達(dá)山頂時(shí)，S_乙=12，得t=6，把t=6代入S=-6t+42得S=6．（千米）
答：乙到達(dá)山頂時(shí)，甲距山腳6千米．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題意在考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求值的運(yùn)算技能和從坐標(biāo)系中提取信息的能力，是道綜合性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題，有一定的能力要求．