Question

3．如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長線于點(diǎn)M，CM交⊙O于點(diǎn)D．求證：CD=2DM．

Answer 1

分析 連接OA、AD，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC=120°，∠CAD=90°，得到∠OCA=30°，∠DAM=30°，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠M=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)證得結(jié)論．

解答 證明：連接OA、AD，
∵AM是⊙O的切線，
∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，
∴∠M=30°，
∵CD是直徑，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAM=30°，
∴AD=DM，
在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴CD=2DM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理和30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．