(2010•長寧區(qū)一模)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC=4,BC=AB,P是邊AC上的一個(gè)點(diǎn),AP=PD,∠APD=∠ABC,連接DC并延長交邊AB的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:AD∥BC;
(2)設(shè)AP=x,BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)連接BP,當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí),試判斷BP與DE的位置關(guān)系,并說明理由.

【答案】分析:(1)利用相似比相等證明△DAP∽△ABC,求得∠DAP=∠ACB,然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,推出結(jié)論.
(2)設(shè)AP=x,則AD=2x.由已知,AB=4,得出BC=2.利用AD∥BC,從而得出,整理,得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為
(3)由圖形得知,當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí),∠PCD=∠BCE,推出,即,求得x、y的值,從而得出BP∥DE.
解答:解:
(1)證明:∵,,∴
(1分)
又∵∠APD=∠ABC,∴△APD∽△ABC.(1分)
∴∠DAP=∠ACB,(1分)
∴AD∥BC.(1分)

(2)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DAP=∠DPA,
∴AD=PD.(1分)
∵AP=x,∴AD=2x.(1分)
,AB=4,∴BC=2.
∵AD∥BC,∴,即.(1分)
整理,得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.(1分)
定義域?yàn)?<x≤4.(1分)

(3)解:平行.(1分)
證明:∵∠CPD=∠CBE,∠PCD>∠E,
∴當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí),∠PCD=∠BCE.(1分)
,即.(1分)
代入,整理得x2=4.
∴x=2,x=-2(舍去).(1分)
∴y=4,
∴AP=CP,AB=BE,(1分)
∴BP∥CE,即BP∥DE.
點(diǎn)評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)以及平行線的判定等知識點(diǎn),綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點(diǎn)C在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求tan∠CAB的值.

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(1)求證:AD∥BC;
(2)設(shè)AP=x,BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)連接BP,當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí),試判斷BP與DE的位置關(guān)系,并說明理由.

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(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點(diǎn)C在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求tan∠CAB的值.

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