【題目】矩形OABC的頂點A(-8,0)、C(0,6),點D是BC邊上的中點,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點,如圖所示.

(1)求點D關(guān)于y軸的對稱點D′的坐標(biāo)及a、b的值;

(2)在y軸上取一點P,使PA+PD長度最短,求點P的坐標(biāo);

(3)將拋物線y=ax2+bx向下平移,記平移后點A的對應(yīng)點為A1,點D的對應(yīng)點為D1,當(dāng)拋物線平移到某個位置時,恰好使得點O是y軸上到A1、D1兩點距離之和OA1+OD1最短的一點,求此拋物線的解析式.

【答案】(1)D′(4,6). a=-,b=-3.(2)P(0,4).(3)y=-x2-3x-4.

【解析】試題分析:(1)首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點B的坐標(biāo),然后得到點D的坐標(biāo),從而得到點D′的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得a、b的值即可;
(2)求得直線AD′的解析式后求得直線與y軸的交點坐標(biāo)即為點P的坐標(biāo);
(3)首先利用待定系數(shù)法求得直線A1D1′的解析式,根據(jù)點O為使OA1+OD1最短的點求得m的值,從而確定拋物線的解析式.

試題解析:1)由矩形的性質(zhì)可知:B(-86),D(-46).∴點D關(guān)于y軸對稱點D′(4,6).

A(-8,0)、D(-4,6)代入y=ax2+bx,得64a-8b=0,16a-4b=6.a=-,b=-3.

(2)設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+n-8k+n=0,4k+n=6.解得k=,n=4.

∴直線y=x+4y軸交于點(04).P(0,4).

(3)解法1:由于OP=4,故將拋物線向下平移4個單位時,有OA1+OD1最短.

y+4=-x2-3x,即此時的解析式為y=-x2-3x-4.

解法2:設(shè)拋物線向下平移了m個單位,則A1(-8,-m),D1(-46-m),D′146-m.

令直線A1D′1y=k′x+b′.-8k′+b′=-m,4k′+b′=6-m.k′=,b′=4-m.

∵點O為使OA1+OD1最短的點,∴b′=4-m=0.m=4,即將拋物線向下平移了4個單位.

y+4=-x2-3x,即此時的解析式為y=-x2-3x-4.

練習(xí)冊系列答案
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