Question

11．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接BE．
（1）如圖1，當點D在線段BC上，
①如果∠BAC=90°，△ABD與△ACE全等嗎？并求∠BCE度數(shù)；
②如果∠BAC=100°，直接寫出∠BCE的度數(shù)．
（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖2，當點D在線段BC上移動，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
②當點D在直線BC上移動，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請在備用圖上畫出圖形，直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）①可以證明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，證明∠ACB=45°，即可解決問題．
②根據(jù)①中的結(jié)論代入解答即可；
（2）①證明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，即可解決問題．
②證明△BAD≌△CAE，得到∠ABD=∠ACE，借助三角形外角性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，∠BCE=90°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=100°
∴∠BCE=80°．
（2）如圖2，α+β=180°；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD與△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°．
（3）α=β．如圖3，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC；
在△ADB與△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE；
∵∠ABD=∠ACB+α，β=∠ACE-∠ACB，
∴β=∠ACB+α-∠ACB，
∴α=β．

點評 該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．