Question

2．如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點F，點E是BD上一點，且∠BCA=∠ADE，∠CAD=∠BAE．
（1）求證：△ABC∽△AED；
（2）求證：BE•AC=CD•AB．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件和角的和差得到∠BAC=∠DAE，由于∠ACB=∠ADE，即可得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，由∠BAE=∠CAD，推出△ABE∽△ACD，由相似三角形的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）∵∠BAE=∠DAC，∠BAC=∠BAE-∠CAE，∠DAE=∠DAC-∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED；

（2）∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∵∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
即：BE•AC=CD•AB．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．