Question

【題目】如圖△ABC內(nèi)接于圓O，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交圓O于點D．
（1）求證：BD=DI；
（2）若OI⊥AD，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵點I是△ABC的內(nèi)心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；
（2）解：連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I為△ABC內(nèi)心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC﹣BC），
故AB+AC=2BC，
∴=2．

【解析】（1）要證明ID=BD，利用內(nèi)心的定義可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所對的圓周角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個外角的和，即可證得∠BID=∠IBD，利用等邊對等角即可證得；
（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，證得：Rt△BDE≌Rt△AIG，則AG=BE=BC，根據(jù)直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得：AG=（AB+AC﹣BC），再根據(jù)AB+AC=2BC即可求解．
【考點精析】利用三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心．