Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過(guò)A點(diǎn)作半圓的切線，與半圓相切于點(diǎn)F，與DC相交于點(diǎn)E，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連接OF，OA，OA與BF交于G，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ABC=90°，利用切線的判定方法可得到AB為⊙O的切線，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AB=AF，OA平分∠BAF，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AG⊥BF，BG=FG，然后根據(jù)勾股定理得OA=2

5

，再利用面積法計(jì)算出BG=

4 5

5

，則BF=2BG=

8 5

5

．

解答：解：連接OF，OA，OA與BF交于G，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，
而B(niǎo)C為⊙O的直徑，
∴AB為⊙O的切線，
∵AF與半圓相切于點(diǎn)，
∴AB=AF，OA平分∠BAF，
∴AG⊥BF，
∴BG=FG，
在Rt△ABO中，∵OB=2，AB=4，
∴OA=

OB2+AB2

=2

5

，
∵

1

2

BG•OA=

1

2

OB•AB，
∴BG=

2×4

2 5

=

4 5

5

，
∴BF=2BG=

8 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長(zhǎng)定理．注意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．