Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）求證：點M在AB、CD邊中點的連線上．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，
2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
而∠2+∠3+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，
即AE⊥BF；

（2）證明：如圖，設AB、CD的中點分別為G、H，連接MG，
∵G為Rt△ABM斜邊AB的中點，
∴MG=AG=GB，
∴∠2=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是以AD、BC為底的梯形，
又G、H分別為兩腰AB、DC的中點，
由梯形中位線定理可知，GH∥AD，而證得GM∥AD，
根據(jù)平行公理可知，過點G與AD平行的直線只有一條，
∴M點在GH上，
即M點在AB、CD邊中點的連線上．
分析：（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，∠DAB+∠CBA=180°，再根據(jù)角平分線的定義可以整理出∠2+∠3=90°，利用三角形內(nèi)角和等于180°求出∠AMB=90°，所以AE⊥BF；
（2）先設AB、CD的中點分別為G、H，連接MG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對等角的性質(zhì)得到∠2=∠5，所以GM∥AD，又GH是梯形ABCD的中位線，根據(jù)梯形中位線定理GH∥AD，而過點G有且只有一條直線與AD平行，所以點M在GH上．
點評：（1）利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)和角平分線的定義求解，熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關鍵；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)；等邊對等角的性質(zhì)；內(nèi)錯角相等，兩直線平行的性質(zhì)；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中平行公理的運用比較關鍵．