Question

已知二次函數(shù)y=2x²-（m+1）x+m-1．
（1）求證：無論m為何值，函數(shù)y的圖象與x軸總有交點(diǎn)．并指出當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)？
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y的圖象過原點(diǎn)？并求出此時(shí)圖象與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果函數(shù)y的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）
△=b²-4ac，
=[-（m+1）]²-4×2×（m-1），
=（m-3）²≥0，
故無論m為何值，函數(shù)y的圖象與x軸總有交點(diǎn)，
當(dāng)m=3時(shí)，（m-3）²=0，
即△=0，故函數(shù)y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

（2）當(dāng)圖象過原點(diǎn)即圖象過（0，0）點(diǎn)；故0=m-1，
解得：m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)y的圖象過原點(diǎn)，
故此函數(shù)解析式為；y=2x²-2x=2x（x-1），
當(dāng)y=0，0=2x（x-1），
解得：x=0或1，
則圖象與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

（3）∵y=2x²-（m+1）x+m-1，
=2（x²-x）+m-1，
=2[（x-）²-（）²]+m-1，
=2（x-）²-，
∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，-），
∵函數(shù)y的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，
∴，
解得；m＞-1且m≠3，
故m的取值范圍為m＞-1且m≠3．
分析：（1）根據(jù)△=b²-4ac的符號(hào)求出無論m為何值，函數(shù)y的圖象與x軸總有交點(diǎn)，進(jìn)而得出m=3時(shí)，函數(shù)y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)函數(shù)圖象過原點(diǎn)時(shí)，m²-1=0，即可求出m的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可得出二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后讓縱坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0即可求出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式進(jìn)行求解是解題的基本思路