Question

19．如圖1，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、點(diǎn)C三點(diǎn)．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC、BD．試問，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′．在平移過程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B代入拋物線解析式，求出a、b值即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)已知求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，在y軸上取點(diǎn)G，使GC=CD=2，只要證明證明△CDB≌△CGB，可知∠PBC=∠DBC，寫出直線BP解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）分兩種情況，第一種情況重疊部分為四邊形，利用大三角形減去兩個(gè)小三角形求得解析式，第二種情況重疊部分為三角形，可利用三角形面積公式求得．

解答 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入拋物線y=ax²+bx+3（a≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2．
故拋物線解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）存在
將點(diǎn)D代入拋物線解析式得：m=3，
∴D（2，3），
令x=0，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下圖，

在y軸上取點(diǎn)G，使GC=CD=2，
在△CDB與△CGB中
∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）
∴△CDB≌△CGB，
∴∠PBC=∠DBC，
∵點(diǎn)G（0，1），
設(shè)直線BP：y=kx+1，
代入點(diǎn)B（3，0），
∴k=-$\frac{1}{3}$，
∴直線BP：y=-$\frac{1}{3}$x+1，
聯(lián)立直線BP和二次函數(shù)解析式：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-\frac{1}{3}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{2}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{11}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍），
∴P（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

（3）直線BC：y=-x+3，直線BD：y=-3x+9，
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如下圖：
設(shè)直線C′B′：y=-（x-t）+3
聯(lián)立直線BD求得F（$\frac{6-t}{2}$，$\frac{3t}{2}$），

S=S_△BCD-S_△CC′E-S_△C′DF
=$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×t×t-$\frac{1}{2}$×（2-t）（3-$\frac{3t}{2}$）
整理得：S=-$\frac{5}{4}$t²+3t（0≤t≤2）．
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如下圖：

H（t，-3t+9），I（t，-t+3）
S=S_△HIB=$\frac{1}{2}$[（-3t+9）-（-t+3）]×（3-t）
整理得：S=t²-6t+9（2＜t≤3）
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}{t}^{2}+3t（0≤t≤2）}\\{{t}^{2}-6t+9（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 題目考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，通過對(duì)二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的求解，結(jié)合等腰三角形及圖形面積求解，考查學(xué)生的觀察問題能力和解決問題能力，特別是圖形面積的求解，更對(duì)學(xué)生的能力提出更高的要求，題目整體較難，適合學(xué)生進(jìn)行中考?jí)狠S題目訓(xùn)練．