Question

已知關(guān)于x的一元二次方程：x²-3（m-1）x+（m-1）²=0．
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）如果原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂且（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）計(jì)算判別式的值得到△=5（m-1）²，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=3（m-1），x₁x₂=（m-1）²≥0，即兩個(gè)根同號，所以當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=x₁+x₂，得到9（m-1）²-4（m-1）²=3（m-1），整理得5m²-13m+8=0；當(dāng)x₁≤0，x₂≤0，則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=-（x₁+x₂），得到9（m-1）²-4（m-1）²=-3（m-1），整理得5m²-7m+2=0，然后分別解關(guān)于m的一元二次方程即可得到m的值．

解答：解：（1）∵△=9（m-1）²-4（m-1）²=5（m-1）²≥0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=3（m-1），x₁x₂=（m-1）²≥0，
∵（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，
當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，（x₁-x₂）²=x₁+x₂，則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=x₁+x₂，9（m-1）²-4（m-1）²=3（m-1），整理得5m²-13m+8=0，解得m₁=

8

5

，m₂=1；
當(dāng)x₁≤0，x₂≤0，（x₁-x₂）²=-（x₁+x₂），則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=-（x₁+x₂），9（m-1）²-4（m-1）²=-3（m-1），整理得5m²-7m+2=0，解得m₁=

2

5

，m₂=1；
∴m的值為1或

2

5

或

8

5

．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．