Question

已知：平面直角坐標(biāo)系中，直線y=ax+1（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，該直線與雙曲線y=

k

x

在第三象限的交點(diǎn)為C（-2

3

，m），且S_△AOB的面積為

3

2

．
（1）求a、m、k 的值；
（2）以BC為一邊作等邊三角形BCD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

a

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），再根據(jù)三角形面積公式由S_△AOB的面積為

3

2

可求出a的值，且該直線與雙曲線y=

k

x

在第三象限的交點(diǎn)為C（-2

3

，m），則a的為正數(shù)，從而確定直線解析式，然后把C（-2

3

，m）代入直線解析式可求出m，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值；
（2）過C作CE⊥y軸于E，由A（-

3

，0），B（0，1）易得∠BAO=30°，則∠BCE=30°，∠CBE=60°，利用C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，-1），則OE=1，BE=2，BC=4，討論：當(dāng)△BCD為等邊三角形，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DCB=60°，DC=CB=4，得到∠DCE=60°+30°=90°，易得D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)△BCD′為等邊三角形，同理可得到D′坐標(biāo)．

解答：解：（1）對于y=ax+1（a≠0），令x=0，則y=1；令y=0，則x=-

1

a

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

a

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∵S_△AOB的面積為

3

2

，
∴

1

2

×|-

1

a

|×1=

3

2

，解得a=±

3

3

，
∵直線y=ax+1（a≠0）與雙曲線y=

k

x

在第三象限的交點(diǎn)為C（-2

3

，m），
∴a＞0，
∴a=

3

3

，
把C（-2

3

，m）代入y=

3

3

x+1得m=-2

3

×

3

3

+1=-1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，-1），
把C（-2

3

，-1）代入雙曲線y=

k

x

得k=-2

3

×（-1）=2

3

，
∴a=

3

3

，m=-1，k=2

3

；

（2）如圖，過C作CE⊥y軸于E，
∵A（-

3

，0），B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∴∠BCE=30°，∠CBE=60°，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，-1），
∴OE=1，BE=2，
∴BC=4，
當(dāng)△BCD為等邊三角形，
則∠DCB=60°，DC=CB=4，
∴∠DCE=60°+30°=90°，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，3）；
當(dāng)△BCD′為等邊三角形，
則∠D′BC=60°，D′B=CB=4，
∵∠CBE=60°，
∴點(diǎn)D′在y軸上，
∴OD′=4-1=3，
∴D′的坐標(biāo)為（0，-3），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2

3

，3）或（0，-3）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式；掌握等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系；正解運(yùn)用線段的長表示點(diǎn)的坐標(biāo)．