Question

1．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB中點，連接DF、EF，DE、EF與AC交于點O，DE與AB交于點G，連接OG，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：
①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG與△EOG的面積比為1：4．
其中正確的結(jié)論的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠EAC=60°，AE=AC，求出BC=AF，根據(jù)SAS證△ABC≌△EFA，推出FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，求出∠AOE=90°，即可判斷③；求出AD=BD，BF=AF，∠DFB=∠EAF，∠BDF=∠AEF，根據(jù)AAS證△DBF≌△EFA，即可判斷①；得出四邊形ADFE為平行四邊形，推出AG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{1}{4}$AB，求出AD=AB，推出AD=4AG，即可判斷④；求出∠FAE=90°，∠AFE＜90°，推出EF＞AE，即可判斷②；根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AG=GF，推出S_三角形AGOS_三角形GOF，設(shè)AG=1，則AF=2，AB=4，BC=2，由勾股定理求出AC=2$\sqrt{3}$，求出AO=OC，由勾股定理求出OE=3，得出△GOF和△EGO的面積比是1：3，即可判斷⑤．

解答 解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
在△ABC和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠ACB=∠EAF}\\{BC=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，
∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∴EF⊥AC，∴③正確，
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
在△DBF和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠FEA}\\{∠DFB=∠EAF}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EFA（AAS），∴①正確；
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∴AG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{1}{4}$AB，
∵AD=AB，
則AD=4AG，∴④正確；
∵四邊形ADFE為平行四邊形，
∴AD=EF，
∵∠FAE=90°，∠AFE＜90°，
∴EF＞AE，
即AD＞AE，∴②錯誤；
∵四邊形ADFE為平行四邊形，
∴AG=GF，
∴S_三角形AGO=S_三角形GOF，
設(shè)AG=1，則AF=2，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2$\sqrt{3}$，
∠CAE=60°，∠AEF=∠CAB=30°，
∴∠COE=30°+60°=90°=∠AOE，
∵AE=CE，
∴AO=OC，
在等邊三角形ACE中，AE=AC=2$\sqrt{3}$，AO=OC=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：OE=3，
∵△GOF的邊OF和△EGO的邊OE上的高相等，
∴△GOF和△EGO的面積比是1：3，
即△AOG與△EOG的面積比為1：3，∴⑤錯誤；
正確的有①③④，
故答案為：①③④．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，對應(yīng)三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用．