Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，M為DE中點，AM與BE相交于點N，AD與BE相交于點F．求證：
（1）

DE

CE

=

AD

CD

；
（2）△BCM∽△ADM；
（3）AM⊥BE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由AD與BC垂直，DE與AC垂直，利用垂直的定義得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△DEC∽△ADC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到比例式，變形后即可得證；
（2）由三角形ADC與三角形DEC都為直角三角形，利用同角的余角相等得出一對角相等，根據(jù)M為中點，得到DE=2DM，AB=AC且AD⊥BC，利用三線合一得到D為BC的中點，可得出CD=

1

2

BC，代入（1）得出的比例式中，變形后得到兩對對應邊相等，利用兩對對應邊且夾角相等的兩三角形相似可得證；
（3）AM與BE的位置關系是垂直，由（2）得出的兩三角形相似，利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△BFD∽△AFN，利用相似三角形的對應角相等得到∠BDF=∠ANF，由AD垂直于BC，得到∠BDF為直角，可得出∠ANF為直角，利用垂直的定義得到AM與BE垂直，得證．

解答：（1）解：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴

DE

AD

=

CE

DC

，即

DE

CE

=

AD

CD

；
（2）解：∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點，即BD=CD=

1

2

BC，
∵M為DE的中點，
∴DM=EM=

1

2

DE，
由（1）得

DE

CE

=

AD

CD

，即

1 2 DE

CE

=

QD

2DC

，
∴

DM

CE

=

AD

BC

，
∴△BCE∽△ADM；

（3）證明：∵△BCE∽△ADM，
∴∠CBE=∠DAM，又∠BFD=∠AFN，
∴△BFD∽△AFN，
∴∠BDF=∠ANF，又∠BDF=90°，
∴∠ANF=90°，
AM⊥BE．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)．