分析 如圖延長(zhǎng)GC使得GM=GA,連接AM,EM,AM交EG于O,在GA上截取GK=FG,連接FK,先證明△EFM是等腰直角三角形,再利用“8字型”證明∠FGH=∠AEH=60°,再證明△AFK≌△EFG即可解決問題.
解答 證明:如圖延長(zhǎng)GC使得GM=GA,連接AM,EM,AM交EG于O,在GA上截取GK=FG,連接FK.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠B=∠DCB=90°,
∵△AEF是等邊三角形,
∴AE=AF=EF,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,
∵EG平分∠AGC,
∴GE垂直平分AM,
∴EA=EM=EF,
在RT△ADF和RT△ABE中,
{AD=ABAF=AE,
∴△ADF≌△ABE,
∴DF=BE,CF=CE,
∴∠EFC=∠FEC=∠EMF=45°,
∵∠GAM=∠GMA,∠EAM=∠EMA,
∴∠GAE=∠EMG=45°=∠GFH,
∵∠GFH+∠FHG+∠FGH=180°,∠HAE+∠AEH+∠AHE=180°,∠FHG=∠EHA,
∴∠FGH=∠AEF=60°,
∴∠AEG=∠EGC=60°,
∵GK=FG,∠FGK=60°,
∴△FGK是等邊三角形,
∴FK=FG=GK,∠GFK=∠AFE=60°,
∴∠AFK=∠EFG,
在△AFK和△EFG中,
{AF=EF∠AFK=∠EFGFK=FG,
∴△AFK≌△EFG,
∴AK=EG,
∴AG=AK+GK=GE+GF.
點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及全等三角形,難度比較大,屬于中考?jí)狠S題.
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