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7.已知,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別在BC,CD上,△AEF為等邊三角形,G為CD上一點(diǎn),EG平分∠AGC,求證:AG=FG+EG.

分析 如圖延長(zhǎng)GC使得GM=GA,連接AM,EM,AM交EG于O,在GA上截取GK=FG,連接FK,先證明△EFM是等腰直角三角形,再利用“8字型”證明∠FGH=∠AEH=60°,再證明△AFK≌△EFG即可解決問題.

解答 證明:如圖延長(zhǎng)GC使得GM=GA,連接AM,EM,AM交EG于O,在GA上截取GK=FG,連接FK.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠B=∠DCB=90°,
∵△AEF是等邊三角形,
∴AE=AF=EF,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,
∵EG平分∠AGC,
∴GE垂直平分AM,
∴EA=EM=EF,
在RT△ADF和RT△ABE中,
{AD=ABAF=AE,
∴△ADF≌△ABE,
∴DF=BE,CF=CE,
∴∠EFC=∠FEC=∠EMF=45°,
∵∠GAM=∠GMA,∠EAM=∠EMA,
∴∠GAE=∠EMG=45°=∠GFH,
∵∠GFH+∠FHG+∠FGH=180°,∠HAE+∠AEH+∠AHE=180°,∠FHG=∠EHA,
∴∠FGH=∠AEF=60°,
∴∠AEG=∠EGC=60°,
∵GK=FG,∠FGK=60°,
∴△FGK是等邊三角形,
∴FK=FG=GK,∠GFK=∠AFE=60°,
∴∠AFK=∠EFG,
在△AFK和△EFG中,
{AF=EFAFK=EFGFK=FG
∴△AFK≌△EFG,
∴AK=EG,
∴AG=AK+GK=GE+GF.

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及全等三角形,難度比較大,屬于中考?jí)狠S題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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12.如圖,拋物線y=ax2-3ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸正半軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G,已知B(4,0),tan∠OAC=2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將∠CAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),邊AB旋轉(zhuǎn)后與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D,邊AC旋轉(zhuǎn)后與拋物線相交于點(diǎn)E,與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)F.
①當(dāng)點(diǎn)F恰好為BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)D坐標(biāo);
②當(dāng)AG=DG時(shí),求點(diǎn)E坐標(biāo).

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①點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,33),P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(275,335);
②當(dāng)t=2時(shí),S△OPQ=63;當(dāng)t=3時(shí),S△OPQ=932;
③設(shè)△OPQ的面積為S,當(dāng)0<t≤3時(shí)試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
④當(dāng)t=2時(shí),試求在y軸上能否找一點(diǎn)M,使得以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,若能找到請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo),若不能找到請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由.

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