【題目】已知:∠MON=40°,OE平分∠MON,點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)(A、B、C不與點(diǎn)O重合),連接AC交射線OE于點(diǎn)D.設(shè)∠OAC= °.
(1)如圖1,若AB//ON,則①∠ABO的度數(shù);②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí), =;③當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí), = .
(2)如圖2,若AB⊥OM,則是否存在這樣的x的值,使得△ADB中有兩個(gè)相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,說(shuō)明理由 .
【答案】
(1)20°;120°;60°
(2)存在,x=50、20、35或125
【解析】(1)①運(yùn)用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,可得①∠ABO的度數(shù);②根據(jù)∠ABO、∠BAD的度數(shù)以及△AOB的內(nèi)角和,可得x的值;(2)分兩種情況進(jìn)行討論:AC在AB左側(cè),AC在AB右側(cè),分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角的度數(shù),可得x的值.
試題解析:如圖1,①∵∠MON=36° , OE平分∠MON,
∴∠AOB=∠BON=18 ,
∵AB∥ON,
∴∠ABO=18;
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí),∠BAD=18°,
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,
∴∠OAC=180°18°×3=126°;
當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí),∵∠ABO=18°,
∴∠BAD=81°,∠AOB=18°,
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,
∴∠OAC=180°18°18°81°=63°,
故答案為:①18°;②126,63;
2)如圖2,存在這樣的x的值,使得△ADB中有兩個(gè)相等的角。
∵AB⊥OM,∠MON=36,OE平分∠MON,
∴∠AOB=18°,∠ABO=72°,
①當(dāng)AC在AB左側(cè)時(shí):
若∠BAD=∠ABD=72°,則∠OAC=90°72°=18°;
若∠BAD=∠BDA=180°72°2=54°,則∠OAC=90°54°=36°;
若∠ADB=∠ABD=72°,則∠BAD=36°,故∠OAC=90°36°=54°;
②當(dāng)AC在AB右側(cè)時(shí):
∵∠ABE=108°,且三角形的內(nèi)角和為180°,
∴只有∠BAD=∠BDA=180°108°2=36°,則∠OAC=90°+36°=126°.
綜上所述,當(dāng)x=18、36、54、126時(shí),△ADB中有兩個(gè)相等的角。
:本題考查三角形的內(nèi)角與外教的綜合應(yīng)用.求角的關(guān)鍵是把未知角放在三角形中,利用三角形的內(nèi)角和定理求角,或轉(zhuǎn)化為已知角有互余或互補(bǔ)關(guān)系的角,有些題目還可以轉(zhuǎn)化為已知角的和或差來(lái)求解.
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(1)證明:Rt△ABM ∽Rt△MCN;
(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABCN的面積最大,并求出最大面積;
(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽Rt△AMN,求此時(shí)x的值.
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