Question

已知矩形的長(zhǎng)大于寬的2倍，周長(zhǎng)為12．從它的一個(gè)頂點(diǎn)作一條射線，將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于．設(shè)梯形的面積為S，梯形中較短的底的長(zhǎng)為x，試寫(xiě)出梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：∵矩形ABCD的長(zhǎng)大于寬的2倍，矩形的周長(zhǎng)為12，
∴AD＞4，AB＜2，
根據(jù)題意，可分為以下兩種情況：
第一種情況，如圖1，
當(dāng)tan∠BAE=時(shí)，設(shè)CE=x，BE=m，
則AB=DC=2m，AD=m+x，
∵AB+AD=6，
∴2（2m+m+x）=12，
m=，
S_梯形AECD=（AD+EC）•DC，
=[（m+x）+x]•2m，
=m（m+2x），
=•，
=-x²+x+4，
＞0，+x＞4，
∴x＜6，x＞3，
∴x的取值范圍是3＜x＜6；

第二種情況，如圖2，
tan∠AEB=時(shí)，
設(shè)CE=x，AB=CD=n，
則BE=2n，AD=2n+x，
∵矩形的周長(zhǎng)為12，
∴AB+AD=6，
∴2（n+2n+x）=12，n=，
S_梯形AECD=（AD+EC）•DC，
=[（2n+x）+x]•n，
=n（n+x），
=•，
=-x²+x+4，
∵＞0，2×+x＞4，
∴x＜6，x＞0，
∴x的取值范圍是0＜x＜6．
分析：畫(huà)出圖形，先求出矩形的較長(zhǎng)的邊與較短的邊的范圍，然后分①AE與較短的邊的夾角的正切值等于時(shí)，設(shè)BE=m，表示出AB，再根據(jù)矩形的周長(zhǎng)列式表示出m，然后根據(jù)梯形的面積公式列式整理即可得解，再根據(jù)BE與BC的長(zhǎng)度范圍求出x的取值范圍；②AE與較長(zhǎng)的邊的夾角的正切值等于時(shí)，設(shè)AB=CD=n，表示出BE，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)表示出m，再根據(jù)矩形的面積公式列式整理即可得解，再根據(jù)BE、BC的長(zhǎng)度范圍求出x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，梯形的面積公式，難點(diǎn)在于要分情況討論．