Question

如圖所示，已知拋物線y=

1

4

x2-x+k的圖象與y軸相交于點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)C（m，n）在該拋物線圖象上，且以BC為直徑的⊙M恰好經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，且點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸l上運(yùn)動(dòng)，試探索：
①當(dāng)S₁＜S＜S₂時(shí)，求t的取值范圍（其中：S為△PAB的面積，S₁為△OAB的面積，S₂為四邊形OACB的面積）；
②當(dāng)t取何值時(shí)，點(diǎn)P在⊙M上．（寫出t的值即可）

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足該拋物線的解析式，將其代入即可求得k的值．
（2）若⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則∠BAC必為直角（圓周角定理），過(guò)C作x軸的垂線，設(shè)垂足為D，那么△BAO∽△ACD，可設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可得到點(diǎn)C橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）①由于O、A、B、C四點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)確定，所以S₁、S₂都可求出，△ABP中，以|t|為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為高，即可得到S，即S=|t|×

1

2

×2=|t|，因此S₁＜|t|＜S₂，將S₁、S₂的值代入上式，然后求出t的取值范圍．（注意t應(yīng)該分正、負(fù)兩種情況考慮）
②若P在⊙M上，∠BPC=90°，即△BPC是直角三角形，可用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式求出△BPC的三邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（0，1）在y=

1

4

x2-x+k的圖象上，
∴1=

1

4

×02-0+k，（2分）
∴k=1．（3分）

（2）由（1）知拋物線為：
y=

1

4

x2-x+1即y=

1

4

(x-2)2，
∴頂點(diǎn)A為（2，0），（4分）
∴OA=2，OB=1；
過(guò)C（m，n）作CD⊥x軸于D，則CD=n，OD=m，
∴AD=m-2，
由已知得∠BAC=90°，（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽R(shí)t△DCA，
∴

AD

OB

=

CD

OA

，即

m-2

1

=

n

2

（或tan∠OBA=tan∠CAD，

OA

OB

=

CD

AD

，即

2

1

=

n

m-2

），（6分）
∴n=2（m-2）；
又∵點(diǎn)C（m，n）在y=

1

4

(x-2)2上，
∴n=

1

4

(m-2)2，
∴2(m-2)=

1

4

(m-2)2，
即8（m-2）（m-10）=0，
∴m=2或m=10；當(dāng)m=2時(shí)，n=0，當(dāng)m=10時(shí)，n=16；（7分）
∴符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）或（10，16）．（8分）

（3）①依題意得，點(diǎn)C（2，0）不符合條件，
∴點(diǎn)C為（10，16）
此時(shí)S1=

1

2

OA×OB=1，
S₂=S_BODC-S_△ACD=21；（9分）
又∵點(diǎn)P在函數(shù)y=

1

4

(x-2)2圖象的對(duì)稱軸x=2上，
∴P（2，t），AP=|t|，
∴S=

1

2

OA×AP=AP=|t|（10分）
∵S₁＜S＜S₂，
∴當(dāng)t≥0時(shí)，S=t，
∴1＜t＜21．（11分）
∴當(dāng)t＜0時(shí)，S=-t，
∴-21＜t＜-1
∴t的取值范圍是：1＜t＜21或-21＜t＜-1（12分）
②t=0，1，17（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、圖形面積的求法、不等式以及相似三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．