Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒5cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，

（1）直角梯形ABCD的面積為             cm².
（2）當(dāng)t＝　　　　　秒時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）當(dāng)t＝　　　　　秒時(shí)，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P點(diǎn)在線段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此時(shí)t的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）48；（2）；（3）；（4）存在，.

試題分析：本題綜合考察了平行四邊形的判定方法，梯形的計(jì)算，梯形問題一般通過作高線轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形的問題.
（1）作DM⊥BC于點(diǎn)M，在直角△CDM中，根據(jù)勾股定理即可求得CM=8cm，得到下底邊的長BC=12cm，由梯形面積公式可得：（4+12）×6÷2=48cm².所以應(yīng)填48.
（2）當(dāng)四邊形PQCD成為平行四邊形時(shí)．PQ//CD，PQ=CD.所以4-4t=5t，解方程可得t=，所以應(yīng)填.
即為所求.
（3）在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ².而AB=6，AQ=DC=10，此時(shí)BQ=12-t，由勾股定理可求，所以填.
（4）連接QD，根據(jù)可求PQ=3t，進(jìn)而利用勾股定理在中求得t的值，結(jié)合CD、CB的長度分析可求t是否存在.
試題解析：
解：（1）48（2）（3）
（4）如圖，設(shè)QC＝5t，則DP＝4t－4，
∵CD＝10
∴PC＝14－4t，連結(jié)DQ，
∵AB＝6，
∴
若PQ⊥CD，則
∴5PQ＝15t，
即PQ＝3t
∵PQ⊥CD  則QC²＝PQ²＋PC²
∴
解得t＝（5分）
當(dāng)t＝時(shí)，4＜4t＜14，此時(shí)點(diǎn)P在線段DC上，又5t＝＜12，點(diǎn)Q在線段CB上.
∴當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC上時(shí)，存在t＝秒，使得PQ⊥CD.（6分）