如圖所示，已知拋物線的對稱軸為直線x=4，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A、C坐標為（2，0）、（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線上有一點P，使以PC為直徑的圓過B點，求P的坐標；
（3）在滿足（2）的條件下，x軸上是否存在點E，使得△COE與△PBC相似？若存在，求出E的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-4）2+b，
根據(jù)題意得：
4a+b=0
16a+b=3
，
解得：
a=
1
4
b=-1
，
則函數(shù)的解析式是：y=
1
4
x2-2x+3；

（2）設(shè)點B坐標為B（a，0），則
2+a
2
=4（拋物線對稱軸的表示），
解得a=6，
∴點B（6，0），
又∵點C坐標為C（0，3），PC為直徑的圓過B點，
∴過P作PE⊥x軸，則△PBE∽△BCO，

∴
PE
BE
=
OB
OC
=
6
3
=2，
∴設(shè)點P的坐標為（m，n），
則n=2（m-6）①，
又點P在拋物線上，
∴n=
1
4
m2-2m+3②，
①②聯(lián)立解得m1=10，m2=6（舍去），
∴n=2（10-6）=8，
∴點P的坐標為P（10，8）；

（3）∵PE⊥x軸，
∴在Rt△PBE中，PB
(10-6)2+82
=4
5
，
在Rt△OBC中，BC=
32+62
=3
5
，
設(shè)點E坐標為（x，0），
∵△COE與△PBC相似，
∴①若CO與PB是對應(yīng)邊，則
3
4
5
=
|x|
3
5
，
解得|x|=
9
4
，
∴x=±
9
4
，
②若CO與BC是對應(yīng)邊，則
3
3
5
=
|x|
4
5
，
解得|x|=4，
∴x=±4，
∴在x軸上存在點E，使得△COE與△PBC相似，點E坐標為E（±
9
4
，0），E（±4，0）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x2+x-1）的圖象交于點A（1，k）和點B（-1，-k）．
（1）當k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點為原點，直線y=
1
2
x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點（8，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點，與x軸交于點E．設(shè)線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于P，連接MP．已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為多少；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；
（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出你的研究成果．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形的長是4cm，寬是3cm，如果將長和寬都增加xcm，那么面積增加ycm2．
（1）求y與x的函數(shù)表達式；
（2）求當邊長增加多少時，面積增加8cm2．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，拋物線經(jīng)過點A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．頂點為M，過點A的直線y=kx-4交y軸于點N．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；
（2）試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（3）將AN所在的直線l向上平移．平移后的直線l與x軸和y軸分別交于點D、E（如圖②）．當直線l平移時（包括l與直線AN重合），在拋物線對稱軸上是否存在點P，使得△PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知等腰直角三角形的斜邊長為x，面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為______．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

某瓜果基地市場部為指導(dǎo)某地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn)情況進行了調(diào)查的基礎(chǔ)上，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產(chǎn)成本進行了預(yù)測，提供了兩個方面的信息．如圖甲、乙兩圖．
注：兩圖中的每個實心黑點所對應(yīng)的縱坐標分別指相應(yīng)月份的售價和成本，生產(chǎn)成本6月份最低；圖甲的圖象是線段，圖乙的圖象是拋物線．
（1）在3月份出售這種蔬菜，每千克的收益（收益=售價-成本）是多少元
（2）設(shè)x月份出售這種蔬菜，每千克收益為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）問哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？簡單說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤，他能獲取的最大利潤是多少？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案