Question

2．O為直線AB上一點，過點O向直線AB上方作射線OC，且∠AOC=30°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的上方，現(xiàn)將三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．
（1）經(jīng)過1秒，OM恰好平分∠BOC，求t的值．
（2）在（1）的條件下，ON是否平分∠AOC？請說明理由．
（3）在三角板轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間OC平分∠MON？請說明理由．
（4）在（3）的條件下，經(jīng)過多長時間OC平分∠MOB？請畫圖并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠AOC=30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM=75°，進(jìn)而可知旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時間t；
（2）根據(jù)圖形和題意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根據(jù)∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC；
（3）根據(jù)圖形和題意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根據(jù)轉(zhuǎn)動速度從而得出答案；
（4）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系和OC平分∠MOB畫圖即可．

解答 解：（1）∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=2∠COM=150°，
∴∠COM=75°，
∴∠CON=15°，
∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，
解得：t=15°÷3°=5秒；
（2）是，理由如下：
∵∠CON=15°，∠AON=15°，
∴ON平分∠AOC；
（3）5秒時OC平分∠MON，理由如下：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，
設(shè)∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，
∵∠AOC-∠AON=45°，
可得：6t-3t=15°，
解得：t=5秒；
（4）OC平分∠MOB
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，
∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，
設(shè)∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，
∴∠COM為$\frac{1}{2}$（90°-3t），
∵∠BOM+∠AON=90°，
可得：180°-（30°+6t）=$\frac{1}{2}$（90°-3t），
解得：t=$\frac{70}{3}$秒；
如圖：

點評 此題考查了角的計算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．