Question

已知:如圖,菱形ABCD中,∠BAD=120°,動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng),作

∠APM=60°,且直線PM與直線CD相交于點(diǎn)Q,Q點(diǎn)到直線BC的距離為QH.

(1)若P在線段BC上運(yùn)動(dòng),求證:CP=DQ.

(2)若P在線段BC上運(yùn)動(dòng),探求線段AC,CP,CH的一個(gè)數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

Answer 1

 (1)連接AQ,作PE∥CD交AC于E,則△CPE是等邊三角形,∠EPQ=∠CQP.

又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,

∴∠APE=∠CPQ,

又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,

∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,

∴△APQ是等邊三角形,∴∠2+∠3=60°,

∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,

∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.

(2)AC=CP+2CH.證明如下:

∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,

∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,

又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,

∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.