Question

【題目】如圖，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，AE⊥BF于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）連接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】分析：（1）利用兩對(duì)邊分另相等的四邊形是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，利用等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定，含30度角的直角三角形即可求出CF的長(zhǎng)．

詳解：（1）證明：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵□ABCD，

∴AD∥B，

∴∠AFB=∠CBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∵AE⊥BF，

∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°，

∴∠BAO=∠BEO，

∴AB=BE，

∴AF=BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∴□ABEF是菱形．

（2）解：∵AD=BC，AF=BE，

∴DF=CE，

∴BE=2CE，

∵AB=4，

∴BE=4，

∴CE=2，

過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，

∵∠ABC=60°，AB=BE，

∴△ABE是等邊三角形，

∴BG=GE=2，

∴AF=CG=4，

∴四邊形AGCF是平行四邊形，

∴□AGCF是矩形，

∴AG=CF，

在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，

∴AG=，

∴CF=，