Question

類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度數(shù)．

（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

①小紅畫了一個(gè)“等對角四邊形”ABCD(如圖2)，其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB＝CD成立．請你證明此結(jié)論；

②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎?若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．

（3）已知：在“等對角四邊形"ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC=90°，AB＝5，AD＝4．求對角線AC的長．

 

 

Answer 1

（1）130°，80°；（2）①證明見解析；②不正確，反例見解析；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)定義和四邊形內(nèi)角和定理求解即可.

（2）①連接BD，根據(jù)定義以及等腰三角形的判定和性質(zhì)求證即可.

②當(dāng)相等角的兩邊相等時(shí)，結(jié)論不正確.

（3）分∠ADC＝∠ABC＝90°和∠BCD＝∠DAB＝60°兩種情況討論即可.

試題解析：（1）∵等對角四邊形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，∴∠Ｄ＝∠B＝80°．

∵∠A＝70°，∴．

（2）①如圖，連接BD，

∵AB＝AD，∴.

∵，∴.

∴CB＝CD.

②不正確，反例如圖，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD.

（3）①如圖，當(dāng)∠ADC＝∠ABC＝90°時(shí)，延長AD,BC交于點(diǎn)F，

∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB=5，∴AE=10.

∴.

∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴.

∴.

②如圖，當(dāng)∠BCD＝∠DAB＝60°時(shí)，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴.

∴.

∵四邊形BFDE是矩形，∵.

∵∠BCD＝60°，∴.∴.

∴

考點(diǎn)：1.新定義和閱讀理解型問題；2. 四邊形內(nèi)角和定理；3. 等腰三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.含30度角直角性質(zhì)；6.分類思想和反證法的應(yīng)用.