Question

9．如圖，已知過(guò)點(diǎn)（0，-$\frac{1}{4}$）的拋物線C₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為Q（1，0），現(xiàn)將該拋物線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)加h（h＞0），橫坐標(biāo)不變，得到新的拋物線，記為C₂，在y軸的負(fù)半軸作一條平行于x軸的直線，與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)，直線AD與x軸的距離是m²（m＞0）
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）當(dāng)h=4時(shí)，設(shè)拋物線C₂與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交直線y=x+1于點(diǎn)F，點(diǎn)P在拋物線C₂上，如果要求S_△EFP≤6時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x_p的取值范圍；
（3）作拋物線C₁的對(duì)稱軸，與直線AD交于點(diǎn)M，與拋物線C₂交于點(diǎn)N，若點(diǎn)A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，求tan∠MDN與tan∠MCQ的比值（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)（0，-$\frac{1}{4}$）和拋物線C₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為Q（1，0），代入函數(shù)解析式，即可解答；
（2）先確定拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+4，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，6），即FE=6．設(shè)在△EFP中，邊EF上的高為d．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，d=5-x_P②當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，d=x_P-5，根據(jù)S_△EFP≤6，列出不等式，即可解答；
（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2m，-m²）．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1-2m，-m²），從而確定DM=AM=1-（-1-2m）=2+2m．再設(shè)拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+h．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線C₂的解析式中，求出h=2m+1，從而得到MN=h+m²=2m+1+m²，根據(jù)tan∠MDN=$\frac{MN}{DM}$=$\frac{2m+1+{m}^{2}}{2+2m}$，tan∠MCQ=$\frac{QM}{CM}$=$\frac{{m}^{2}}{2m}$，即可解答．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)（0，-$\frac{1}{4}$），
∴c=-$\frac{1}{4}$．
又∵其頂點(diǎn)為Q（1，0），
∴a+b+c=0，-$\frac{2a}$=1，
∴解得：a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$；
（2）∵拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$，
整理可得y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²．
∵將拋物線C₁上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加h、橫坐標(biāo)不變可得到拋物線C₂，h=4，
∴拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0）．
易知EF⊥x軸，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5．
∵點(diǎn)F在直線y=x+1上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，6），即FE=6．
設(shè)在△EFP中，邊EF上的高為d．
①當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，d=5-x_P，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$EF•d=$\frac{1}{2}$×6×（5-x_P）≤6，
∴x_P≥3．
②當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，d=x_P-5，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$EF•d=$\frac{1}{2}$×6×（x_P-5）≤6，
∴x_P≤7，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)x_P的取值范圍是3≤x_P≤7．
（3）∵直線AD與x軸的距離是m²，
∴點(diǎn)B，C的縱坐標(biāo)為-m²，
∴-$\frac{1}{4}$（x-1）²=-m²，
解得x₁=1+2m，x₂=1-2m，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2m，-m²）．
∵M(jìn)N是拋物線C₁的對(duì)稱軸，
∴CM=1+2m-1=2m．
∵點(diǎn)A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1-2m，-m²），
∴DM=AM=1-（-1-2m）=2+2m．
設(shè)拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+h．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線C₂的解析式中，
∴-$\frac{1}{4}$（-1-2m-1）²+h=-m²，
∴h=2m+1，
∴MN=h+m²=2m+1+m²，
∴tan∠MDN=$\frac{MN}{DM}$=$\frac{2m+1+{m}^{2}}{2+2m}$，
tan∠MCQ=$\frac{QM}{CM}$=$\frac{{m}^{2}}{2m}$，
∴$\frac{tan∠MDN}{tan∠MCQ}$=$\frac{m+1}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式、三角函數(shù)，解決本題（2）的關(guān)鍵是進(jìn)行分類(lèi)討論，解決本題（3）的關(guān)鍵是函數(shù)解析式頂點(diǎn)式的應(yīng)用．