Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=

3

DC，點(diǎn)E在線段BC上，BC=6EC，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)E恰好落在線段BD上的點(diǎn)F處，且BF=3，則線段AB的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：作出圖形，延長AE與DC相交于N，連接EF、NF、NB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出△AEF是等邊三角形，再求出∠BDC=60°，然后判斷出A、D、N、F四點(diǎn)共圓，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠AFN=90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等求出∠ANF=∠ADF=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AN=2AF，從而得到AE=EN，再求出CE：AD=NE：NA=1：2，設(shè)CE=x，求出AD，BC，CD，再求出NC、BD，從而得到BD=DN，判斷出△DBN是等邊三角形，再利用勾股定理列式求出AN，然后表示出AF、NF，過點(diǎn)N作NH⊥BD于H，求出NH，F(xiàn)H，再根據(jù)BF列出方程求出x，延長BA、CD相交于點(diǎn)M，求出MD：MC=AD：BC=1：3，然后求出MD，MA，再利用勾股定理列式求出MB，然后根據(jù)AB=MB-MA計算即可得解．

解答：解：如圖，延長AE與DC相交于N，連接EF、NF、NB，
∵線段AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，
∴△AEF為等邊三角形，
∵BC=

3

DC，
∴∠BDC=60°=∠FAE，
∴A、D、N、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AFN=180°-∠ADC=90°，
∴∠ANF=∠ADF=30°，
∴AN=2AF，
∵AE=AF，
∴AE=EN，
∴CE：AD=NE：NA=1：2，
設(shè)CE=x，則AD=2x，BC=6x，CD=

1

3

×6x=2

3

x，
∴NC=2

3

x，BD=2CD=4

3

x，
∴BD=DN，
∴△DBN是等邊三角形，
由勾股定理得，AN=

AD2+DN2

=

(2x)2+(4 3 x)2

=2

13

x，
∴AF=

1

2

AN=

13

x，
NF=

13

x×

3

=

39

x，
過點(diǎn)N作NH⊥BD于H，則NH=BC=6x，F(xiàn)H=

NF2-NH2

=

( 39 x)2-(6x)2

=

3

x，
∴BF=BH-FH=2

3

x-

3

x=

3

x，
∵BF=3，
∴

3

x=3，
解得x=

3

，
延長BA、CD相交于點(diǎn)M，則MD：MC=AD：BC=2x：6x=1：3，
∵DC=2

3

x，
∴MD=

3

x，
MA=

AD2+MD2

=

(2x)2+( 3 x)2

=

7

x，
∴MB=3

7

x，
∴AB=MB-MA=3

7

x-

7

x=2

7

x=2

7

×

3

=2

21

．
故答案為：2

21

．

點(diǎn)評：本題考查了直角梯形，勾股定理，平行線分線段成比例定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度較大，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．