Question

如圖，M、N、P分別為△ABC三邊AB、BC、CA的中點，BP與MN、AN分別交于E、F．
（1）求證：BF=2FP；
（2）設(shè)△ABC的面積為S，求△NEF的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接PN，
∵N、P分別為△ABC邊BC、CA的中點，
∴PN∥AB，且．
∴△ABF∽△NPF，
∴．
∴BF=2FP．

（2）解：如圖2，取AF的中點G，連接MG，
∴MG∥EF，AG=GF=FN．
∴△NEF∽△NMG，∴S_△NEF=S_△MNG
=×S_△AMN
=××S_△ABC
=S．
分析：（1）如圖1，連接PN，由中位線性質(zhì)得到PN∥AB，且，則△ABF∽△NPF，得到，即可證得結(jié)論；
（2）如圖2，取AF的中點G，連接MG，由中位線性質(zhì)得到MG∥EF，AG=GF=FN．得到△NEF∽△NMG，則根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方和三角形同高面積的比等于底邊的比得到S_△NEF=S_△MNG=×S_△AMN=××S_△ABC=S．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了三角形中位線的性質(zhì)和同高的三角形面積的比等于底邊的比．