Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0  ①
（1）試判斷方程①的根的情況；
（2）如果a是關(guān)于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0②的根，其中x₁，x₂為方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

×

a2-1

a

的值．

Answer 1

分析：（1）可以根據(jù)根的判別式來判斷根的情況；
（2）根據(jù)方程①的根與系數(shù)的關(guān)系代入方程②后簡(jiǎn)化方程，然后可以得到關(guān)于a的方程，求出a的值，接著分析代數(shù)式，化簡(jiǎn)后把a(bǔ)的值代入，從而得出代數(shù)式的值．

解答：解：（1）∵a=1，b=-2（k+1），c=k²+2k-1，
∴△=b²-4ac=[-2（k+1）]²-4（k²+2k-1）=8＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵方程①中x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k-1
代入方程②中，可得到：y²-2y-1=0，
因a是方程②的根，則a²-2a-1=0，
∴a²-1=2a，把a(bǔ)²-1=2a整體代入所求代數(shù)式，
∴(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

×

a2-1

a

=

-2a2

4a2

=-

1

2

∴所求代數(shù)式的值為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：總結(jié)：（1）根據(jù)根的判別式的值的大小與零的關(guān)系來判斷．
若△＞0，則有兩不相等的實(shí)數(shù)根；
若△＜0，則無實(shí)數(shù)根；
若△=0，則有兩相等的實(shí)數(shù)根．
（2）一元二次方程若有實(shí)數(shù)根，則根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．