Question

某公園有一斜坡形的草坪（如圖1），其傾斜角∠COx為30°，該斜坡上有一棵小樹AB（垂直于水平面），樹高（

2 3

3

-

1

3

）米．現(xiàn)給該草坪灑水，已知點(diǎn)A與噴水口點(diǎn)O的距離OA為

2

3

3

米，建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系，在噴水的過程中，水運(yùn)行的路線是拋物線y=-

1

3

x²+bx，且恰好過點(diǎn)B，最遠(yuǎn)處落在草坪的點(diǎn)C處．

（1）求b的值；
（2）求直線OC的解析式：
（3）在噴水路線上是否存在一點(diǎn)P，使P到OC的距離最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）首先表示出B點(diǎn)橫縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（3）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出當(dāng)x=

3

時(shí)，由題意可知當(dāng)S_△POC最大為

3

時(shí)則使P到OC的距離最大，即可得出答案．

解答：解：（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x=OAcos30°=

2 3

3

×

3

2

=1，
點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y=OAsin30°+AB=

3

3

+（

2 3

3

-

1

3

）=

3

-

1

3

，
∴B（1，

3

-

1

3

）．將B（1，

3

-

1

3

）代入y=-

1

3

x²+bx，
有

3

-

1

3

=-

1

3

×1²+b，
解得：b=

3

；

（2）∵直線OC的傾斜角為30°，點(diǎn)A與噴水口點(diǎn)O的距離OA為

2

3

3

米，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

3

3

，橫坐標(biāo)為：1，設(shè)直線解析式為：y=kx，
∴

3

3

=k，
∴OC的解析式為：y=

3

3

x；

（3）聯(lián)立

y= 3 3 x y=- 1 3 x2+ 3 x

，
解得：

x1=0 y1=0

，

x2=2 3 y2=2

，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），（2

3

，2），
∴C的坐標(biāo)為（2

3

，2）．

如圖2，設(shè)P（x，-

1

3

x²+

3

x），
由題意可知當(dāng)S_△POC最大為

3

時(shí)則使P到OC的距離最大，
過P作PH⊥OC于H，則|PH|=

3

2

PM=

3

2

×（-

1

3

x²+

3

x-

3

3

x）=-

3

6

x2+x，
∴S_△POC=

1

2

OC×PH=

1

2

×4×（-

3

6

x²+x）=-

3

3

x²+2x=-

3

3

（x-

3

）²+

3

≤

3

，
當(dāng)x=

3

時(shí)，S_△POC最大為

3

．
故：存在一點(diǎn)P（

3

，2），使P到OC的距離最大，此時(shí)S_△POC=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．