Question

3．如圖所示，拋物線y=ax²+x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求出此拋物線的解析式及對稱軸方程．
（2）在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線AD的解析式．
（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，可求出拋物線的解析式．進(jìn)而求出對稱軸方程；
（2）四邊形ABDC為等腰梯形可知，C、D縱坐標(biāo)相等可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、D坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線解析式；
（3）分兩大類共四種情況，第①類P與M的縱坐標(biāo)相等，第②類P與M的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)分別計(jì)算，可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2+c=0}\\{36a+6+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$，
∵y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=$-\frac{1}{4}（x-2）^{2}+4$，
∴對稱軸方程為：x=2；
（2）∵四邊形ABDC為等腰梯形，
∴C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，等于3；
在函數(shù)：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中當(dāng)y=3時(shí)，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=3，
解得：x₁=0，x₂=4，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)D（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
直線AD的解析式為 $y=\frac{1}{2}x+1$；
（3）存在，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{x=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)M（2，2）．
①如圖1，

若四邊形AQPM為平行四邊形，則PM∥AQ，即PM∥x軸，
∴P與M的縱坐標(biāo)相等，
在y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中，當(dāng)y=2時(shí)，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=2，解得：$x=2±2\sqrt{2}$，
故此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：$（2+2\sqrt{2}，2）$或$（2-2\sqrt{2}，2）$；
②如圖2，

過點(diǎn)P作PN⊥AQ垂足為N，則∠AEM=∠PNQ=90°，
∵四邊形AQPM為平行四邊形，
∴AM=PQ，∠MAE=∠PQN，
在△AME和△QPN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠PQN}\\{∠AEM=∠PNQ}\\{AM=QP}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△QPN（AAS），
∴ME=PN，
故M、P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
在y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中，當(dāng)y=-2時(shí)，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=-2，解得：$x=2±2\sqrt{6}$，
故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：$（2+2\sqrt{6}，-2）$或$（2-2\sqrt{6}，-2）$；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：$（2+2\sqrt{2}，2）$、$（2-2\sqrt{2}，2）$、$（2+2\sqrt{6}，-2）$、$（2-2\sqrt{6}，-2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及四邊形與二次函數(shù)相關(guān)綜合知識(shí)，分類討論是解題關(guān)鍵，找出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)是難點(diǎn)．