Question

2．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為點F．
（1）如果AB=AD，求證：EF∥BD；
（2）如果EF∥BD，求證：AB=AD．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ADF（AAS），進而求出答案；
（2）利用平行線分線段成比例定理結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ABE∽△ADF，進而求出答案．

解答 證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{DF}{DC}$，
∴EF∥BD；

（2）∵EF∥BD，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{BC}{DC}$，
∵∠ABF=∠ADF，∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AD×BC=AB×DC，
∴AB²=AD²，
∴AB=AD．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識，得出$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AB}{AD}$是解題關鍵．