Question

如圖，以菱形ABCD的邊AB為直徑的⊙O交對(duì)角線AC于點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若菱形ABCD的面積為24，tan∠PAB=

3

4

，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OP，只要證明OP⊥PE即可．本題可根據(jù)菱形的性質(zhì)可證得∠OPE=90°．
（2）連接PB，根據(jù)菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的知識(shí)即可得出PE的長(zhǎng)．

解答：證明：（1）連接OP，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO．
∵菱形ABCD，
∴∠ACB=∠CAB．
∴∠APO=∠ACB．
∴PO∥BC．
∵PE⊥BC，
∴∠OPE=∠CEP=90°．
∴PE是⊙O的切線．

（2）連接PB，
∵菱形ABCD的面積為24，
∴△BPC的面積=6，∠PAB=∠PCB．
∵tan∠PAB=

3

4

，
∴PB=3，PC=4，
∴BC=5，
∴PE=S_△BPC×2÷BC=6×2÷5=2.4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．本題同時(shí)考查了菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的知識(shí)．