Question

已知二次函數(shù)L₁：y=-2x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)；二次函數(shù)L₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0）的頂點(diǎn)為P．
（1）請直接寫出：b=

 

，c=

 

；
（2）當(dāng)∠APB=90°，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）若直線y=15k與拋物線L₂交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不發(fā)生變化，請求出EF的長度；如果發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可得到b、c的值；
（2）把二次函數(shù)L₂整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷出△APB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)P到AB的距離等于

1

2

AB，然后求解即可；
（3）根據(jù)拋物線與直線y=15k，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)，再根據(jù)EF∥x軸求出EF的長即可．

解答：解：（1）∵y=-2x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴

-2+b+c=0 -18+3b+c=0

，
解得

b=8 c=-6

；
故答案為：8，-6；

（2）∵y=kx²-4kx+3k=k（x²-4x+4）-4k+3k=k（x-2）²-k，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-k），
∵∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴|-k|=

1

2

AB=

1

2

×（3-1）=1，
解得k=±1；

（3）聯(lián)立

y=kx2-4kx+3k y=15k

消掉y得，
kx²-4kx+3k=15k，
∴k（x²-4x-12）=0，
∵k≠0，
∴x²-4x-12=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
∴點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)分別為-2，6，
∵直線y=15k與x軸平行，
∴EF=6-（-2）=6+2=8，
故EF的長度不發(fā)生變化，為8．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，（2）要注意k值有兩個(gè)，（3）條件k≠0的應(yīng)用．