Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB和拋物線交于點(diǎn)A（-4，0），B（0，4），且點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求直線AB和拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)△PAB面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，將A（-4，0），B（0，4）代入得到關(guān)于k、b的方程組，然后解得k、b的值即可；設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+4，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AB于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P（a，-$\frac{1}{4}{a}^{2}$+4），Q（a，a+4）．則PQ=-$\frac{1}{4}{a}^{2}$-a，然后依據(jù)三角形的面積公式列出△ABP的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，需要注意本題共有4種情況，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及特殊銳角三角函數(shù)值求解即可．

解答 解：（1）設(shè)直線的解析式為y=kx+b．
∵將A（-4，0），B（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得k=1，b=4，
∴直線AB的解析式為y=x+4．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+4．
∵將A（-4，0）代入得：16a+4=0，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+4．
（2）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AB于點(diǎn)Q．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{4}{a}^{2}$+4），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a+4）．則PQ=-$\frac{1}{4}{a}^{2}$+4-（a+4）=-$\frac{1}{4}{a}^{2}$-a．
∵S_△ABP的面積=$\frac{1}{2}$PQ•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}{a}^{2}$-a）=-$\frac{1}{2}$a²-2a=-$\frac{1}{2}$（a+2）²+2，
∴當(dāng)a=-2時(shí)△ABP的面積最大，此時(shí)P（-2，3）．
（3）如圖2所示：延長(zhǎng)MN交x軸與點(diǎn)C．

∵M(jìn)N∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OC．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BA0=45°．
∵ON∥AB，
∴∠NOC=45°．
∴OC=ON×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，NC=ON×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．
如圖3所示：過(guò)點(diǎn)N作NC⊥y軸，垂足為C．

∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°．
∵ON∥AB，
∴∠NOC=45°．
∴OC=ON×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，NC=ON×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$）．
如圖4所示：連接MN交y軸與點(diǎn)C．

∵四邊形BNOM為菱形，OB=4，
∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．
∵將y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=-2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，2）．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）．
如圖5所示：

∵四邊形OBNM為菱形，
∴∠NBM=∠ABO=45°．
∴四邊形OBNM為正方形．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，4）．
綜上所述點(diǎn)N的坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$或$（-2\sqrt{2}，-2\sqrt{2}）$或（-4，4）或（2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值，三角形的面積公式、菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，列出△ABP的面積與a的函數(shù)關(guān)系式以及根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形是解題的關(guān)鍵．