Question

【題目】已知：A是以BC為直徑的圓上的一點(diǎn)，BE是⊙O的切線(xiàn)，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)與BE交于E點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF，CB交于點(diǎn)P．

（1）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AF=3，BC=8，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）3.6

【解析】分析：（1）要想證PA是⊙O的切線(xiàn)，只要連接OA，求證∠OAP=90°即可；

（2）先由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知BF=AF，再在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理求出CE，最后由切割線(xiàn)定理求出AE的長(zhǎng)．

詳解：（1）證明：連接AB，OA，OF；

∵F是BE的中點(diǎn)，

∴FE=BF．

∵OB=OC，

∴OF∥EC．

∴∠C=∠POF．

∴∠AOF=∠CAO．

∵∠C=∠CAO，

∴∠POF=∠AOF．

∵BO=AO，OF=OF，

∴△OAF≌OBF,

∴∠OAP=∠EBC=90°．

∴PA是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵BE是⊙O的切線(xiàn)，PA是⊙O的切線(xiàn)，

∴BF=AF=3，

∴BE=6．

∵BC=8，∠CBE=90°，

∴CE=10．

∵BE是⊙O的切線(xiàn)，

∴EB2=AEEC．

∴AE=3.6．