Question

問題1
如圖①，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．
研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點(diǎn)落在CE上，則∠BDA′與∠A的數(shù)量關(guān)系是

∠BDA′=2∠A

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA、∠CEA和∠A的數(shù)量關(guān)系是

∠BDA+∠CEA=2∠A

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA、∠CEA和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
猜想：

∠BDA-∠CEA=2∠A

理由：
問題2
研究（4）：將問題1推廣，如圖，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時(shí)，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是

∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及折疊的特點(diǎn)即可得到結(jié)論；
（2）連接AA′，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接AA′構(gòu)造等腰三角形，然后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行探討證明；
（4）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行探討．

解答：解：①根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；
②由圖形折疊的性質(zhì)可知，∠CEA′=180°-2∠DEA…①，∠BDA=180°-2∠ADE…②，
①+②得，∠BDA+∠CEA=360°-2（∠DEA+∠ADE）
即∠BDA+∠CEA=360°-2（180°-∠A），
故∠BDA+∠CEA=2∠A；
③∠BDA-∠CEA=2∠A．
證明如下：
連接AA′構(gòu)造等腰三角形，
∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，
得∠BDA'-∠CEA'=2∠A'，
④由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，
兩式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）
即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），
即∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

點(diǎn)評(píng)：注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．