Question

如圖，在矩形ABCD中，∠OAD=∠ODA=

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∠BOC，求證：OB=OC=AB．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：通過全等三角形的判定定理SAS證得△AOB≌△DOC，則其對應(yīng)邊OB=OC．設(shè)∠OAD=∠ODA=x，則∠BOC=4x．利用矩形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理推知∠AOB=∠OAB即可．

解答：解：設(shè)∠OAD=∠ODA=x，則∠BOC=4x．
如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠CDA=90°，AB=DC．
又∠OAD=∠ODA，
∴∠BAO=∠CDA，AO=DO，
∴在△AOB與△DOC中，

AO=DO ∠BAO=∠CDO AB=DC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=

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（180°-4x）=90°-2x，
∴∠OBA=90°-∠OBC=90°-（90°-2x）=2x，∠OAB=90°-x，
∠AOB=180°-（90°-x）-2x=90°-x，
∴∠AOB=∠OAB，
∴AB=OB，
∴OB=OC=AB．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，有一定的綜合性，解答本題的關(guān)鍵是得出∠AOB=∠DOC，另外要求我們熟練掌握全都三角形的判定．