Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠CAB的角平分線分別交BC、CD于點E、F；過點E作EG⊥AB，垂足為G．
（1）求證：CF=CE；
（2）求證：CE：BE=AC：AB；
（3）若AB=10，AC=6，求CF的長．

Answer 1

（1）證明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EG⊥AB
∴EG=CE
∴△ACE≌△AGE
∴∠AEC=∠AEG
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EG
∴∠GEF=∠CFE
∴∠CEF=∠CFE
∴CF=CE

（2）證明：∵∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B
∴△ACB∽△EGB
∴AC：AB=EG：EB
∵EG=CE
∴CE：BE=AC：AB

（3）解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴CB=8
∵EC：EB=AC：AB=3：5
∴EC=3
∴CF=EC=3．
分析：（1）先由已知證明△ACE≌△AGE，得∠AEC=∠AEG，再由CD⊥AB，EG⊥AB推出CD∥EG得∠GEF=∠CFE，所以得∠CEF=∠CFE，從而證得CF=CE；
（2）由∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B證明△ACB∽△EGB，得AC：AB=EG：EB，再由（1）△ACE≌△AGE，EG=CE，所以 CE：BE=AC：AB；
（3）由勾股定理求出CB，再由EC：EB=AC：AB=3：5得出EC，從而求出CF．
點評：此題考查的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過三角形全等和相似解題．