Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx（a≠0）與雙曲線相交于點(diǎn)A、B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)且縱坐標(biāo)為4．過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）在拋物線y=ax²+bx的對稱軸上有一點(diǎn)Q，設(shè)w=BQ²+AQ²，試求出使w的值最小的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在圖1的基礎(chǔ)上，點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，且OD=4，連接CD、AD（如圖2），直線CD交y軸于點(diǎn)M，連接AM，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CAD方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動，設(shè)△PMA的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）．

Answer 1

解：（1）∵雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)B（-2，-2），
∴=-2，
解得k=4，
∴雙曲線的解析式為y=，
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，
∴=4，
解得x=1，
∴點(diǎn)A（1，4），
把點(diǎn)A、B代入拋物線y=ax²+bx（a≠0）得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²+3x；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=-=-，
∵點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，
∴設(shè)點(diǎn)Q（-，m），
則w=BQ²+AQ²，
=[--（-2）]²+[m-（-2）]²+（--1）²+（m-4）²，
=+m²+4m+4++m²-8m+16，
=2m²-4m+26.5，
=2（m-1）²+24.5，
∵a=2＞0，
∴當(dāng)m=1時(shí)，w有最小值24.5，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-，1）；

（3）∵直線AC∥x軸，A（1，4），
∴x²+3x=4，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，4），
∵OD=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線CD的解析式為y=-x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），
∴點(diǎn)M到AC的距離為4-2=2，
∵點(diǎn)P的速度是1個(gè)單位/秒，
∴①點(diǎn)P在AC上時(shí)，AC=1-（-4）=1+4=5，
AP=AC-CP=5-t，
△PMA的面積為S=（5-t）×2=-t+5（0≤t＜5），
②點(diǎn)P在AD上時(shí)，AD==5，
∴AC=AD=5，
∵C（-4，4），D（4，0），
∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，
∴AM平分∠CAD，
過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，則MN=點(diǎn)M到AC的距離=2，
∵AP=t-AC=t-5，
∴△PMA的面積為S=（t-5）×2=t-5（5＜t≤10），
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=．
分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線解析式求出k值，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出對稱軸為直線x=-，得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用勾股定理列出w的表達(dá)式，整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出w最小值時(shí)的Q的坐標(biāo)即可；
（3）先利用二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線CD的解析式，令x=0求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再分①點(diǎn)P在AC上時(shí)，表示出AP，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；②點(diǎn)P在AD上時(shí)，利用勾股定理列式求出AD，得到AD=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM平分∠CAD，過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得MN等于點(diǎn)M到AC的距離，再表示出AP，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，以及三角形的面積，（2）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用勾股定理列出算式是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出AC=AD，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論．