Question

已知一元二次方程x²-2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x²-6x+k=0與x²-mx-12=0有一個相同的根，求此時m的值．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²-2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△＞0，即（-2）²-4×1×（-k）＞0，解得k＞-1，
即k的取值范圍為k＞-1；
（2）∵k＞-1，
∴k的最大整數(shù)為0，
∴一元二次方程x²-6x+k=0變形為x²-6x=0，則x（x-6）=0，
∴x₁=0，x₂=6，
把x=0代入方程x²-mx-12=0，得-12=0，無解，
把x=6代入方程x²-mx-12=0，得36-6m-12=0，解得m=4，
即此時m的值為4．
分析：（1）由于一元二次方程x²-2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)△的意義得到△＞0，即（-2）²-4×1×（-k）＞0，然后解不等式得到k的取值范圍為k＞-1；
（2）k＞-1的最大整數(shù)為0，把k=0代入一元二次方程x²-6x+k=0得到x²-6x=0，解方程得x₁=0，x₂=6，然后把它們分別代入方程x²-mx-12=0，再解關(guān)于m的方程即可．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解的意義．