Question

12．已知關于x的一元二次方程x²+2x+a-2=0．
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設方程兩根為x₁，x₂是否存在實數(shù)a，使${x_1}^2+{x_2}^2=1$？若存在求出實數(shù)a，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據判別式的意義得到△=2²-4×（a-2）＞0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=-2，x₁•x₂=a-2，利用x₁²+x₂²=1得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=1，即可得到ad的值，然后解出a的值后利用（1）中的條件進行判斷．

解答 解：（1）∵b²-4ac=（-2）²-4×1×（a-2）=12-4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范圍是a＜3；

（2）由根與系數(shù)的關系得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=a-2，
又∵${x_1}^2+{x_2}^2=1$∴${（{{x_1}+{x_2}}）^2}-2{x_1}{x_2}=1$，
有（-2）²-2（a-2）=1，
∴$a=\frac{7}{2}$，
∵$\frac{7}{2}＞3$，
∴不存在實數(shù)a，使${x_1}^2+{x_2}^2=1$成立．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系．