Question

將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEC，按如圖1方式放置．其中，∠ABC=∠DEC=90°，AB與DE交于點(diǎn)O．

（1）通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想AE、BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；CO與AD的位置關(guān)系是______；
（2）將三角形DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，（1）中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）將三角形DEC繞點(diǎn)C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，（1）中的猜想是否還成立（直接寫出結(jié)論，不需證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件即可推理得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意證明△DCB≌△ACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)推理得出Rt△COB≌Rt△COE，然后根據(jù)等腰三角形的頂角平分線的性質(zhì)即可得出答案；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論可得出答案．
解答：解：（1）AE=BD，CO⊥AD．
證明：∵△ABC≌△DEC，
∴AC=CD，BC=CE，
∴AE=BD；
∵∠ABC=∠DEC=90°，
∴點(diǎn)O是△ACD的外心，
∴CO⊥AD．

（2）成立，
證明：由題意可知：AC=DC，CE=CB，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴DB=AE，
在Rt△COB和Rt△COE中，
∵CB=CE，CO=CO，
∴Rt△COB≌Rt△COE，
∴∠BCO=∠ECO，
∴∠DCO=∠ACO，
∴在等腰△ACD，CO是頂角的平分線，
∴CO⊥AD，

（3）成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的證明及性質(zhì)，同時(shí)考查了等腰三角形頂角平分線的性質(zhì)，難度適中．