Question

如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，連接BQ交AC于G，若AP=

2

，Q為CD中點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面積是16；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，則四邊形共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠BPC=∠BQC，根據(jù)∠PBC=∠PQD，過P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，則E、P、F三點(diǎn)共線，推出正方形AEPM，根據(jù)勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1，證△BEP≌△PFQ，推出PE=FQ=1，BP=PQ，求出DQ、DC，即可．

解答：解：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCQ=90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BPQ+∠BCQ=180°，
∴B、C、Q、P四點(diǎn)共圓，
∴∠PBC=∠PQD，∠BPC=∠BQC，∴①正確；③正確；
過P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，則E、P、F三點(diǎn)共線，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠DAC=∠BAC，∠DAB=90°，
∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°，PM=PE，
∴四邊形AMPE是正方形，
∴AM=PM=PE=AE，
∵AP=

2

，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE²+PE²=（

2

）²，
解得：AE=AM=PE=PM=1，
∴DF=1，
設(shè)AB=BC=CD=AD=a，
則BE=PF=a-1，
∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°，
∴∠BPE+∠EBP=90°，∠EPB+∠FPQ=90°，
∴∠EBP=∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中

∠EBP=∠FPQ BE=PF ∠BEP=∠PFQ

，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE=FQ=1，BP=PQ，∴②正確；
∴DQ=1+1=2，
∵Q為CD中點(diǎn)，
∴DC=2DQ=4，
∴正方形ABCD的面積是4×4=16，∴④正確；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．