Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°，得△A₁BC₁，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點．
（1）證明：△ABE≌△C₁BF；
（2）證明：EA₁=FC；
（3）試判斷四邊形ABC₁D的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）利用全等三角形的判定結合ASA得出答案；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)對邊相等得出答案；
（3）首先得出四邊形ABC₁D是平行四邊形，進而利用菱形的判定得出即可．

解答：（1）證明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°，得△A₁BC₁，
∴AB=BC₁=A₁B=BC，∠ABE=∠C₁BF，∠A=∠C₁=∠A₁=∠C，
在△ABE和△C₁BF中，

∠A=∠C1 AB=BC1 ∠EBA=∠FBC1

，
∴△ABE≌△C₁BF（ASA）；

（2）證明：∵△ABE≌△C₁BF，
∴EB=BF．
又∵A₁B=CB，
∴A₁B-EB=CB-BF，
∴EA₁=FC；

（3）答：四邊形ABC₁D是菱形．
證明：∵∠A₁=∠C=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
∠A₁=∠C=∠ABA₁=∠CBC₁．
∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，
∴四邊形ABC₁D是平行四邊形
∵AB=BC₁，
∴四邊形ABC₁D是菱形．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應邊關系是解題關鍵．