Question

17．如圖，已知A（4，2）、B（n，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點(diǎn)
（1）求m的值和一次函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合圖象直接寫出不等式$\frac{m}{x}$-kx-b＞0的解集；
（3）若點(diǎn)M（t，y₁）、N（1，y₂）是反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$上兩點(diǎn)，且y₁＜y₂，請你借助圖象，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出m的值；由點(diǎn)B的坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出不等式的解集；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象，即可得出當(dāng)y₁＜y₂時，t的取值范圍．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（4，2）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
∵點(diǎn)B（n，-4）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$的圖象上，
∴8=-4n，解得：n=-2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-4）．
將點(diǎn)A（4，2）、點(diǎn)B（-2，-4）代入到y(tǒng)=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{2=4k+b}\\{-4=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-2．
（2）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)x＜-2或0＜x＜4時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，
∴不等式$\frac{m}{x}$-kx-b＞0的解集為x＜-2或0＜x＜4．
（3）令y=$\frac{8}{x}$中x=1，則y=8，
∴y₂=8．
當(dāng)點(diǎn)M在第三象限內(nèi)時，y₁＜0，
顯然y₁＜y₂，此時t＜0；
當(dāng)點(diǎn)M的第一象限內(nèi)時，
∵y=$\frac{8}{x}$中8＞0，
∴反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，
∴若y₁＜y₂，則t＞1．
綜上可知：當(dāng)y₁＜y₂時，t的取值范圍為t＜0或t＞1．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式；（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)找出函數(shù)單調(diào)性．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時，找出點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．