Question

18．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠AEB=∠ADC．
（1）求證：△ADE∽△DBC；
（2）連結(jié)EC，若CD²=AD•BC，求證：∠DCE=∠ADB．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠ADE=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，再由已知條件和鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠AED=∠C，即可得出△ADE∽△DBC；
（2）由（1）得：△ADE∽△DBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出DB•DE=AD•BC，再由已知條件得出$\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$，由公共角相等得出△CDE∽△BDC，得出∠DCE=∠DBC，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，
∵∠AEB=∠ADC，∠AEB+∠AED=180°，
∴∠AED=∠C，
∴△ADE∽△DBC；
（2）證明：連接EC，如圖所示：
由（1）得：△ADE∽△DBC，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$，
∴DB•DE=AD•BC，
∵CD²=AD•BC，
∴CD²=DB•DE，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$，
又∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
又∵∠ADB=∠DBC，
∴∠DCE=∠ADB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角關(guān)系；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．