Question

8．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖甲的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖乙表示的拋物線段表示．
（1）寫出圖甲表示的市場售價與時間的函數(shù)關系P=f（t）；寫出圖乙表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q=g（t）．
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/10²㎏，時間單位：天）

Answer 1

分析 （1）利用已知圖形上點的坐標進而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）利用y=f（t）-g（t）進而得出函數(shù)關系式，再利用配方法求出最值．

解答 解：（1）當0≤t≤200時，設f（t）=k₁t+b₁（k₁≠0），有：
$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=300\\ 200{k_1}+{b_1}=100\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-1\\{b_1}=300\end{array}\right.$
當200＜t≤300時，設f（t）=k₂t+b₂（k₂≠0），
有$\left\{\begin{array}{l}300{k_2}+{b_2}=300\\ 200{k_2}+{b_2}=100\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k_2}=2\\{b_2}=-300\end{array}\right.$．
設拋物線g（t）=a（t-150）²+100，則150=a（250-150）²+100，得$a=\frac{1}{200}$，
故市場售價與時間的函數(shù)關系：$f（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+300，0≤t≤200\\ 2t-300，\;200＜t≤300\end{array}\right.$，
種植成本與時間的函數(shù)關系式：$g（t）=\frac{1}{200}{（t-150）^2}+100$．

（2）由（1），得$y=f（t）-g（t）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{200}{t^2}+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}，0≤t≤200\\-\frac{1}{200}{t^2}+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}，200＜t≤300\end{array}\right.$，
即$y=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{200}{（{t-50}）^2}+100，0≤t≤200\\-\frac{1}{200}{（{t-350}）^2}+87.5，200＜t≤300\end{array}\right.$，
對0≤t≤200，當t=50時，取最大值為100，
對200＜t≤300，當t=300時，最大值為75，
即從2月1日開始的第50天時，西紅柿純收益最大．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及二次函數(shù)解析式以及配方法求函數(shù)最值，正確得出y與x的函數(shù)關系式是解題關鍵．