Question

3．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M為DA延長線上一點(diǎn)，連接BM，過點(diǎn)C作CN∥BM，交AD于點(diǎn)N，在CD延長線上取一點(diǎn)F，使BM=CF-DN，連接BF，交CN于點(diǎn)E．
（1）∠F=30°，BC=2$\sqrt{3}$，求DF的長度；
（2）求證：BC=EC．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可知∠BCF=90°，由∠F=30°，BC=2$\sqrt{3}$結(jié)合三角函數(shù)可求得CF的長，再由線段間的關(guān)系可得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造輔助線充分利用BM=CF-DN這個(gè)條件是關(guān)鍵，然后利用等角對等邊的性質(zhì)去證明．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，∠BCF=90°，
∴CF=BC•cot∠F=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6，
∴DF=6-2$\sqrt{3}$．
（2）在CD上截取CH=ND，如圖，則可證Rt△BCH≌Rt△CDN
∴BH=CN=BM，∠HBC=∠NCD，
又HF=CF-CH=CF-DN=BM，
∴BH=FH
∴∠FBH=∠BFH
故∠FBC=∠FBH+∠HBC=∠BFH+∠NCD=∠BEC
∴BC=EC．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值；（2）找到∠BEC=∠EBC．本題屬于中檔題，（1）沒有難度，（2）稍微有點(diǎn)難度，解決該類型的題時(shí)，找邊相等要想到兩邊所在的三角形為等邊或者等腰三角形．