Question

6．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，已知∠B=45°，tan∠ACB=2，AC=$\sqrt{5}$，求：
（1）△ABC面積；
（2）CD的長；
（3）sin∠ACD的值．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，設(shè)CH=x，則AH=2x，根據(jù)勾股定理求出x，從而求出CH和AH，在Rt△ABH中，根據(jù)∠B=45°，求出BH=AH=2，再求出BC=BH+CH，最后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可；
（2）作DF⊥BC于F，根據(jù)DF=$\frac{1}{2}$AH，求出DF，再根據(jù)∠B=45°求出BF，從而得出CF的長，最后根據(jù)CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$代入計算即可；
（3）作DE⊥AC于E，根據(jù)S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{3}{2}$，求出DE，再根據(jù)sin∠ACD=$\frac{DE}{DC}$代入計算即可．

解答 解：（1）作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB=2，AC=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AH}{CH}$=2，
設(shè)CH=x，AH=2x，
根據(jù)勾股定理得AC=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，
∴x=1，
∴CH=1，AH=2，
在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴BH=AH=2，
∴BC=BH+CH=2+1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）作DF⊥BC于F，
∴DF∥AH，
∵BD=AD，
∴DF=$\frac{1}{2}$AH=1，
∴BF=1，
∴CF=3-1=2，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；

（3）作DE⊥AC于E，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$•DE=$\frac{3}{2}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACD=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)的意義，三角形的面積計算，以及三角形的中位線定理，正確作出兩條垂線是解決問題的關(guān)鍵．